一、容斥原理
容斥原理是2004、2005年中央國家公務員考試的一個難點,很多考生都覺得無從下手,其實,容斥原理關鍵就兩個公式:
1. 兩個集合的容斥關系公式:A+B=A∪B+A∩B
2. 三個集合的容斥關系公式:A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
請看例題:
【例題1】某大學某班學生總數(shù)是32人,在第一次考試中有26人及格,在第二次考試中有24人及格,若兩次考試中,都沒及格的有4人,那么兩次考試都及格的人數(shù)是( )
A.22 B.18 C.28 D.26
【解析】設A=第一次考試中及格的人數(shù)(26人),B=第二次考試中及格的人數(shù)(24人),顯然,A+B=26+24=50; A∪B=32-4=28,則根據(jù)A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。**為A。
【例題2】電視臺向100人調查前一天收看電視的情況,有62人看過2頻道,34人看過8頻道,11人兩個頻道都看過。問兩個頻道都沒看過的有多少人?
【解析】設A=看過2頻道的人(62),B=看過8頻道的人(34),顯然,A+B=62+34=96;
A∩B=兩個頻道都看過的人(11),則根據(jù)公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85,所以,兩個頻道都沒看過的人數(shù)為100-85=15人。
二、作對或做錯題問題
【例題】某次考試由30到判斷題,每作對一道題得4分,做錯一題倒扣2分,小周共得96分,問他做錯了多少道題?
A.12 B.4 C.2 D.5
【解析】
方法一
假設某人在做題時前面24道題都做對了,這時他應該得到96分,后面還有6道題,如果讓這最后6道題的得分為0,即可滿足題意.這6道題的得分怎么才能為0分呢?根據(jù)規(guī)則,只要作對2道題,做錯4道題即可,據(jù)此我們可知做錯的題為4道,作對的題為26道.
方法二
作對一道可得4分,如果每作對反而扣2分,這一正一負差距就變成了6分.30道題全做對可得120分,而現(xiàn)在只得到96分,意味著差距為24分,用24÷6=4即可得到做錯的題,所以可知選擇B
三、栽樹問題
核心要點提示:①總路線長②間距(棵距)長③棵數(shù)。只要知道三個要素中的任意兩個要素,就可以求出第三個。
【例題1】李大爺在馬路邊散步,路邊均勻的栽著一行樹,李大爺從第一棵數(shù)走到底15棵樹共用了7分鐘,李大爺又向前走了幾棵樹后就往回走,當他回到第5棵樹是共用了30分鐘。李大爺步行到第幾棵數(shù)時就開始往回走?
A.第32棵 B.第32棵 C.第32棵 D.第32棵
解析:李大爺從第一棵數(shù)走到第15棵樹共用了7分鐘,也即走14個棵距用了7分鐘,所以走沒個棵距用0.5分鐘。當他回到第5棵樹時,共用了30分鐘,計共走了30÷0.5=60個棵距,所以**為B。第一棵到第33棵共32個棵距,第33可回到第5棵共28個棵距,32+28=60個棵距。
【例題2】為了把2008年北京奧運會辦成綠色奧運,全國各地都在加強環(huán)保,植樹造林。某單位計劃在通往兩個比賽場館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹,現(xiàn)運回一批樹苗,已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米,若每隔4米栽一棵,則少2754棵;若每隔5米栽一棵,則多396棵,則共有樹苗:( )
A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵
解析:設兩條路共有樹苗ⅹ棵,根據(jù)栽樹原理,路的總長度是不變的,所以可根據(jù)路程相等列出方程:(ⅹ+2754-4)×4=(ⅹ-396-4)×5(因為2條路共栽4排,所以要減4)
解得ⅹ=13000,即選擇D。
四、和差倍問題
核心要點提示:和、差、倍問題是已知大小兩個數(shù)的和或差與它們的倍數(shù)關系,求大小兩個數(shù)的值。(和+差)÷2=較大數(shù);(和—差)÷2=較小數(shù);較大數(shù)—差=較小數(shù)。
【例題】甲班和乙班共有圖書160本,甲班的圖書是乙班的3倍,甲班和乙班各有圖書多少本?
解析:設乙班的圖書本數(shù)為1份,則甲班和乙班圖書本書的合相當于乙班圖書本數(shù)的4倍。乙班160÷(3+1)=40(本),甲班40×3=120(本)。