例1：一個數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數(shù)最小是幾？

題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質。

則〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

為了使20被3除余1，用20×2=40；

使15被4除余1，用15×3=45；

使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1＋45×2＋36×4=274，

因為，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的數(shù)。

例2：一個數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個數(shù)最小是幾？

題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質。

則〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。

為了使56被3除余1，用56×2=112；

使24被7除余1，用24×5=120。

使21被8除余1，用21×5=105；

然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，

因為，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的數(shù)。

例3：一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。

題中5、8、11三個數(shù)兩兩互質。

則〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。

為了使88被5除余1，用88×2=176；

使55被8除余1，用55×7=385；

使40被11除余1，用40×8=320。

然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，

因為，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的數(shù)。

例4：有一個年級的同學，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，

這個年級至少有多少人？

題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質。

則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

為了使35被9除余1，用35×8=280；

使45被7除余1，用45×5=225；

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，

因為，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的數(shù)。

例5：有一個年級的同學，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，問這個年級至少有多少人？

題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質。

則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

為了使35被9除余1，用35×8=280；

使45被7除余1，用45×5=225；

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，

因為，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的數(shù)。

（例5與例4的除數(shù)相同，那么各個余數(shù)要乘的“數(shù)”也分別相同，所不同的就是最后兩步。）

“中國剩余定理”簡介：

我國古代數(shù)學名著《孫子算經》中，記載這樣一個問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?！庇矛F(xiàn)在的話來說就是：“有一批物品，三個三個地數(shù)余二個，五個五個地數(shù)余三個，七個七個地數(shù)余二個，問這批物品最少有多少個?！边@個問題的解題思路，被稱為“孫子問題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點兵”等等。

那么，這個問題怎么解呢？明朝數(shù)學家程大位把這一解法編成四句歌訣：

三人同行七十（70）稀，五樹梅花廿一（21）枝，

七子團圓正月半（15）， 除百零五（105）便得知。

歌訣中每一句話都是一步解法：第一句指除以3的余數(shù)用70去乘；第二句指除以5的余數(shù)用21去乘；第三句指除以7的余數(shù)用15去乘；第四句指上面乘得的三個積相加的和如超過105，就減去105的倍數(shù)，就得到**了。即： 70×2＋21×3＋15×2－105×2=23

《孫子算經》的“物不知數(shù)”題雖然開創(chuàng)了一次同余式研究的先河，但由于題目比較簡單，甚至用試猜的方法也能求得，所以尚沒有上升到一套完整的計算程序和理論的高度。真正從完整的計算程序和理論上解決這個問題的，是南宋時期的數(shù)學家秦九韶。秦九韶于公元1247年寫成的《數(shù)書九章》一書中提出了一個數(shù)學方法“大衍求一術”，系統(tǒng)地論述了一次同余式組解法的基本原理和一般程序。

從《孫子算經》到秦九韶《數(shù)書九章》對一次同余式問題的研究成果，在19世紀中期開始受到西方數(shù)學界的重視。1852年，英國傳教士偉烈亞力向歐洲介紹了《孫子算經》的“物不知數(shù)”題和秦九韶的“大衍求一術”；1876年，德國人馬蒂生指出，中國的這一解法與西方19世紀高斯《算術探究》中關于一次同余式組的解法完全一致。從此，中國古代數(shù)學的這一創(chuàng)造逐漸受到世界學者的矚目，并在西方數(shù)學史著作中正式被稱為“中國剩余定理”。