天津大學(xué)全國統(tǒng)考博士生入學(xué)考試業(yè)務(wù)課程大綱

課程編號(hào)：3379 課程名稱：數(shù)值計(jì)算方法考試大綱

一、考試目的

《數(shù)值計(jì)算方法》著重考查考生對(duì)算法建立的數(shù)學(xué)背景、原理和基本數(shù)學(xué)方法的掌握情況。主要內(nèi)容為各種數(shù)值方法的正確使用，各種算法的理論分析的推導(dǎo)和證明方法，以及一些算法的誤差分析方法、穩(wěn)定性研究方法和收斂性研究方法。

二、考試內(nèi)容

（一） 代數(shù)方程組的數(shù)值解法

1.線性方程組的直接解法

(1) 熟練掌握Gauss消去法，列主元Gauss消去法

(2) 掌握矩陣的三角分解法

(3) 熟練掌握追趕法，平方根法

(4) 熟練掌握方程組的性態(tài)和條件數(shù)

2.線性方程組的迭代法

(1) 掌握向量和矩陣的范數(shù)

(2) 掌握迭代法的一般理論及收斂性

(3) 熟練掌握J(rèn)acobi, G-S, SOR迭代法

(4) 掌握范數(shù)和譜半徑的應(yīng)用

（二） 非線性方程（組）的數(shù)值解法

1.熟練掌握二分法

2.迭代法

(1) 掌握不動(dòng)點(diǎn)迭代法的一般理論

(2) 掌握迭代法的收斂性和收斂階

(3) 掌握迭代法的收斂階

3.牛頓法

(1) 掌握牛頓法及其收斂性

(2) 掌握簡易牛頓法和牛頓下山法

(3) 會(huì)用牛頓法解非線性方程組

4.掌握弦截法和拋物線法

（三） 插值法

1.了解插值法的基本概念

2. Lagrange插值多項(xiàng)式

(1) 多項(xiàng)式的存在唯一性

(2) 熟練掌握Lagrange插值多項(xiàng)式及其余項(xiàng)的估計(jì)

3.熟練掌握差商與Newton插值公式及其余項(xiàng)的計(jì)算

4.掌握三次樣條插值的求法

5.了解分段插值

（四）函數(shù)逼近與曲線擬合

1.函數(shù)逼近

(1) 掌握函數(shù)逼近及其相關(guān)概念

(2) 掌握Legendre,Chebyshev,Laguerre,Hermite多項(xiàng)式的定義、性質(zhì)

和應(yīng)用

(3) 熟練掌握最佳平方逼近

2.曲線擬合

(1) 熟練掌握最小二乘法

(2) 掌握具有權(quán)函數(shù)的最小二乘法

（五） 數(shù)值積分和數(shù)值微分

1.掌握求積公式的一般形式及其余項(xiàng)

2.熟練掌握代數(shù)精度的定義和求法

3.Newton-Cotes求積公式

(1) 掌握幾種常用的Newton-Cotes公式

(2) 復(fù)化公式的推導(dǎo)

4.熟練掌握Romberg算法

5.掌握數(shù)值微分的基本公式及余項(xiàng)

（六） 矩陣特征值問題計(jì)算

1.掌握乘冪法和反冪法

2.掌握J(rèn)acobi方法

3.掌握QR方法

（七） 常微分方程的數(shù)值解法

1.熟練掌握兩種Euler方法

2.Runge-Kutta方法

(1) 掌握Runge-Kutta方法

(2) 熟練掌握四階Runge-Kutta方法

3.掌握Adams方法

4.掌握算法的穩(wěn)定性及收斂性

5.掌握方程組和高階方程的數(shù)值解法

6.掌握兩點(diǎn)邊值問題的解法及誤差估計(jì)

三、考試要求

本考試為面試。

四、主要參考書目：

1. 翟瑞彩，謝偉松，數(shù)值分析，天津大學(xué)出版社，2000年01月。

2. 李慶揚(yáng)，王能超，易大義，數(shù)值分析（第5版）, 清華大學(xué)出版社，2008

年12月。

3. 蔣爾雄, 數(shù)值逼近，復(fù)旦大學(xué)出版社，1996年.

4. R.L.Burden & J.D.Faires, 數(shù)值分析(第七版,影印版）,高等教育出版社,2001年8月。

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