天津大學全國統(tǒng)考博士生入學考試業(yè)務課程大綱

課程編號：3376 課程名稱： 微分方程基礎

一、考試要求

要求考生全面系統(tǒng)地掌握常、偏微分方程的基礎理論，具備一定的分析問題與解決問題的能力。

二、考試內(nèi)容

1．常微分方程

a) 常微分方程基本理論（20%）：主要包括解的存在與唯一性定理，解的延展定理，解對初值與參數(shù)的依賴性，微分比較定理；

b) 線性微分方程組基礎（10%）：常系數(shù)線性微分方程組的基本理論，周期系數(shù)線性微分方程組基本理論等；

c) 常微分方程定性理論（10%）：定常系統(tǒng)的基本性質(zhì)，奇點及周期解等基本概念；

d) 常微分方程穩(wěn)定性理論（10%）：常微分方程穩(wěn)定性相關的基本概念，穩(wěn)定性的判定方法，Lyapunov穩(wěn)定性的概念與基本理論。

2．偏微分方程

a) 線性橢圓型偏微分方程的 理論 (20%)：Lax-Milgram定理, 散度型線性橢圓型偏微分方程的弱解, Fredholm二擇一定理, 弱解的極值原理和弱解的正則性；

b) 線性發(fā)展方程（15%）：二階拋物型方程弱解的存在性、正則性和極值原理，二階雙曲方程弱解的存在性和正則性；

c) 非線性偏微分方程（15%）： 非線性泛函極小化子的存在性及其應用，山路定理及其對半線性橢圓方程的應用。

三、考試形式

面試。

四、參考書目

1. 尤秉禮編，常微分方程補充教程，人民教育出版社，1991.

2. 張芷芬、丁同仁等，微分方程定性理論，科學出版社，1985.

3. J. K. Hale, Ordinary Differential Equations, 1980.

4．L. C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998.

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