高考數(shù)學(xué)高分方法:函數(shù)值域的求法
來源:易賢網(wǎng) 閱讀:2236 次 日期:2017-05-10 14:57:05
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一.觀察法

通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域。

例1求函數(shù)y=3+√(2-3x)的值域。

點(diǎn)撥:根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì),先求出√(2-3x)的值域。

解:由算術(shù)平方根的性質(zhì),知√(2-3x)≥0,

故3+√(2-3x)≥3。

∴函數(shù)的知域?yàn)?

點(diǎn)評:算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性,即:(1)被開方數(shù)的非負(fù)性,(2)值的非負(fù)性。

本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解,這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法,簡捷明了,不失為一種巧法。

練習(xí):求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域?yàn)椋簕0,1,2,3,4,5})

二.反函數(shù)法

當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí),則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。

例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。

點(diǎn)撥:先求出原函數(shù)的反函數(shù),再求出其定義域。

解:顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閧y∣y≠1,y∈R}。

點(diǎn)評:利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想,是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。

練習(xí):求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函數(shù)的值域?yàn)閧y∣y<-1或y>1})

三.配方法

當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域

例3:求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。

點(diǎn)撥:將被開方數(shù)配方成平方數(shù),利用二次函數(shù)的值求。

解:由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[-1,2]。此時(shí)-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]

點(diǎn)評:求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。

練習(xí):求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域?yàn)閧y∣y≤3})

四.判別式法

若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。

例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

點(diǎn)撥:將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程,應(yīng)用二次方程根的判別式,從而確定出原函數(shù)的值域。

解:將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2

當(dāng)y=2時(shí),方程(*)無解。∴函數(shù)的值域?yàn)?

點(diǎn)評:把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0,由于方程有實(shí)數(shù)解,故其判別式為非負(fù)數(shù),可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。

練習(xí):求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域?yàn)閥≤-8或y>0)。

五.值法

對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的較值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的值,可得到函數(shù)y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。

點(diǎn)撥:根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍,將目標(biāo)函數(shù)消元、配方,可求出函數(shù)的值域。

解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù),故只需比較邊界的大小。

當(dāng)x=-1時(shí),z=-5;當(dāng)x=3/2時(shí),z=15/4。

∴函數(shù)z的值域?yàn)閧z∣-5≤z≤15/4}。

點(diǎn)評:本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值。對開區(qū)間,若存在值,也可通過求出值而獲得函數(shù)的值域。

練習(xí):若√x為實(shí)數(shù),則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)?)

A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞)

(答案:D)。

六.圖象法

通過觀察函數(shù)的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。

例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

點(diǎn)撥:根據(jù)值的意義,去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),作出其圖象。

解:原函數(shù)化為-2x+1(x≤1)

y=3(-1

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函數(shù)值y≥3,所以,函數(shù)值域[3,+∞]。

點(diǎn)評:分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象

求函數(shù)的值域,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數(shù)值域的方法較多,還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。

七.單調(diào)法

利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。

例1求函數(shù)y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

點(diǎn)撥:由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù),即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x),其定義域?yàn)閤≤1/3,在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性,從而確定函數(shù)的值域。

解:設(shè)f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù),從而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x

在定義域?yàn)閤≤1/3上也為增函數(shù),而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函數(shù)值域?yàn)閧y|y≤4/3}。

點(diǎn)評:利用單調(diào)性求函數(shù)的值域,是在函數(shù)給定的區(qū)間上,或求出函數(shù)隱含的區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的增減性,求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。

練習(xí):求函數(shù)y=3+√4-x的值域。(答案:{y|y≥3})

八.換元法

以新變量代替函數(shù)式中的某些量,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式,進(jìn)而求出值域。

例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1的值域。

點(diǎn)撥:通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的值,確定原函數(shù)的值域。

解:設(shè)t=√2x+1(t≥0),則

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以,原函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≥-7/2}。

點(diǎn)評:將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),通過求出二次函數(shù)的值,從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。

練習(xí):求函數(shù)y=√x-1–x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}

九.構(gòu)造法

根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,賦予幾何圖形,數(shù)形結(jié)合。

例3求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

點(diǎn)撥:將原函數(shù)變形,構(gòu)造平面圖形,由幾何知識,確定出函數(shù)的值域。

解:原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一個(gè)長為4、寬為3的矩形ABCD,再切割成12個(gè)單位

正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關(guān)系知,AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共

線時(shí)取等號。

∴原函數(shù)的知域?yàn)閧y|y≥5}。

點(diǎn)評:對于形如函數(shù)y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù)),均可通過構(gòu)造幾何圖形,由幾何的性質(zhì),直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

練習(xí):求函數(shù)y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2})

十.比例法

對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法,可將條件轉(zhuǎn)化為比例式,代入目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。

例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。

點(diǎn)撥:將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式,設(shè)置參數(shù),代入原函數(shù)。

解:由3x-4y-5=0變形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

當(dāng)k=-3/5時(shí),x=3/5,y=-4/5時(shí),zmin=1。

函數(shù)的值域?yàn)閧z|z≥1}.

點(diǎn)評:本題是多元函數(shù)關(guān)系,一般含有約束條件,將條件轉(zhuǎn)化為比例式,通過設(shè)參數(shù),可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式,這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法,具有一定的創(chuàng)新意識。

練習(xí):已知x,y∈R,且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})

十一.利用多項(xiàng)式的除法

例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點(diǎn)撥:將原分式函數(shù),利用長除法轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式與一個(gè)分式之和。

解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0,故y≠3。

∴函數(shù)y的值域?yàn)閥≠3的一切實(shí)數(shù)。

點(diǎn)評:對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。

練習(xí):求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)

十二.不等式法

例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。

點(diǎn)撥:先求出原函數(shù)的反函數(shù),根據(jù)自變量的取值范圍,構(gòu)造不等式。

解:易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/(1-x)],

由對數(shù)函數(shù)的定義知x/(1-x)>0

1-x≠0

解得,0

∴函數(shù)的值域(0,1)。

點(diǎn)評:考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式(組)或構(gòu)造重要不等式,求出函數(shù)定義域,進(jìn)而求值域。不等式法是重要的解題工具,它的應(yīng)用非常廣泛。是數(shù)學(xué)解題的方法之一。

以下供練習(xí)選用:求下列函數(shù)的值域

1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3})

2.Y=2x/(2x-1)。(y>1或y<0)

注意變量哦

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