一、考查目標(biāo)
本《考試大綱適用于貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試復(fù)試。初等數(shù)論是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的一門重要課程。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的抽象思維能力、邏輯推理能力、計算能力和綜合分析解決問題能力。
1考試目的
《初等數(shù)論》是我校數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院招收全日制碩士研究生而設(shè)置的具有選拔性質(zhì)的復(fù)試科目,其目的是考察學(xué)生是否具備本學(xué)科各專業(yè)碩士研究生學(xué)習(xí)所要求的水平,為我校數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院擇優(yōu)選拔碩士研究生提供依據(jù)。
2考試的基本要求
1)要求考生比較系統(tǒng)地掌握初等數(shù)論的基本概念和技巧,學(xué)會整除、同余式、不定方程、平方剩余、同余方程和原根及指數(shù)的計算與證明;2)掌握研究初等數(shù)論的一些基本思想和方法;3)要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、計算能力、綜合運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。
二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
(一)試卷成績及考試時間
本試卷滿分為100分。考試時間為180分鐘。
(二)答題方式
閉卷,筆試;所有題目全部為必答題。
(三)試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)
整數(shù)的可除性理論約占15%,不定方程理論約占15%,同余、同余式理論約占25%,二次同余式與平方剩余理論約占25%,原根與指標(biāo)理論約占20%。
(四)試卷題型結(jié)構(gòu)
所有題目為計算題與證明題。
三、考查范圍
1、整數(shù)的可除性
整除的性質(zhì)、帶余數(shù)除法、輾轉(zhuǎn)相除法,最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的基本理論,算術(shù)基本定理,函數(shù)[x]、{x}的基本理論。
2、不定方程
一次不定方程有解的充要條件,解一次不定方程的方法;不定方程的正整數(shù)解的表示方法;不定方程無正整數(shù)解的證明。
3、同余
同余的定義,同余與整除的關(guān)系,同余的基本性質(zhì)及其在算術(shù)中的應(yīng)用;剩余類與完全剩余系的定義和性質(zhì)結(jié)構(gòu);歐拉函數(shù)與簡化剩余系;費馬、歐拉定理與威爾遜定理的推導(dǎo)和應(yīng)用。
4、同余式
同余式及其解的定義,利用完全剩余系及費馬小定理解同余式,同余式的常用變形,解一次同余式的兩種方法;孫子定理的推導(dǎo),利用孫子定理解一次同余式組;同余式的同解定理,一般同余式的解的形式;模為素數(shù)的高次同余式的等價定理,其有解的充要條件的定理和推論。
5、二次同余式與平方剩余
二次剩余與二次非剩余的定義,二次剩余與非剩余與同余式解的關(guān)系,歐拉判別法(判別a是否是模p的二次剩余的方法);勒讓德符號的定義,勒讓德符號的性質(zhì)及推導(dǎo),幾個基本勒讓德符號的值,二次互反律,利用勒讓德符號判斷二次同余式有無解,雅可比符號的定義和性質(zhì),雅可比符號與勒讓德符號的關(guān)系,利用雅可比符號判定二次同余式無解;二次同余式有解的充分條件和解數(shù),有解時模兩種情況的解的形式,模不太大時二次同余式的解法。
6、原根與指標(biāo)
指數(shù)和原根的概念,指數(shù)的基本性質(zhì);模存在原根的條件,模的原根的相關(guān)性質(zhì),求模的全部原根;指標(biāo)和指標(biāo)組的概念、性質(zhì),會構(gòu)造模的指標(biāo)表,模m的n次剩余和非剩余的概念,模m的n次剩余的充要條件;模及合數(shù)模的指標(biāo)組。
四、樣題
1.求不定方程6x+93y=75的一切整數(shù)解。
2.設(shè)a為正整數(shù),試證:
其中表示展布在a的一切正因數(shù)上的和式。