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學(xué)院：理學(xué)院

加試科目：實(shí)變函數(shù)

一、集合

考查內(nèi)容

1．集合及其運(yùn)算。

2．集合的勢(shì)。

3．n維空間中的點(diǎn)集。

考查要求

1．熟練掌握集合的并、交、差（補(bǔ)）運(yùn)算和對(duì)偶原理；掌握上極限、下極限的定義及其等價(jià)表述。

2．掌握映射、對(duì)等、集合勢(shì)等概念，會(huì)用Bernstein 定理討論集合的勢(shì)，會(huì)比較集合勢(shì)的大小。

3．掌握可數(shù)集概念與性質(zhì)，會(huì)證[0,1]點(diǎn)集不可數(shù)，掌握具有連續(xù)勢(shì)的集，冪集及其勢(shì)。

4. 掌握聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、導(dǎo)集、閉包、開(kāi)集、閉集、完備集的概念與相關(guān)性質(zhì)。

5. 了解直線上開(kāi)、閉集及完備集的構(gòu)造，了解Cantor集。

二、測(cè)度論

考查內(nèi)容

1．外測(cè)度與可測(cè)集。

2．Lebesgue可測(cè)集的結(jié)構(gòu)。

考查要求

1．理解掌握(L) 外測(cè)度概念與性質(zhì)，知道可列集的測(cè)度為零，區(qū)間的測(cè)度等于其體積。

2．理解可測(cè)集的 Caratheodory 條件，可測(cè)集的概念與性質(zhì)。

3．了解 型集、 型集以及波雷爾集的定義，掌握可測(cè)集類、可測(cè)集與開(kāi)集、閉集的關(guān)系及可側(cè)集結(jié)構(gòu)；了解當(dāng) 時(shí)， 中必有不可測(cè)集存在。

三、可測(cè)函數(shù)

考查內(nèi)容

1．可測(cè)函數(shù)的定義及其性質(zhì)。

2．可測(cè)函數(shù)的逼近定理。

考查要求

1．掌握可測(cè)函數(shù)概念及等價(jià)表述，掌握可測(cè)函數(shù)對(duì)代數(shù)、極限運(yùn)算封閉等重要性質(zhì)；

掌握命題在點(diǎn)集幾乎處處成立概念；掌握簡(jiǎn)單函數(shù)及函數(shù)在點(diǎn)集連續(xù)的概念。

2．掌握可測(cè)函數(shù)列幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系；掌握Egoroff 定理。

3．掌握可測(cè)函數(shù)結(jié)構(gòu)，Lusin 定理。

4．掌握依測(cè)度收斂、幾乎處處收斂及（基本）一致收斂三者的關(guān)系。

四、Lebesgue積分

考查內(nèi)容

1．可測(cè)函數(shù)的積分。

2．Lebesgue積分的極限定理。

3．Fubini定理。

考查要求

1．理解簡(jiǎn)單函數(shù)的Lebesgue積分、一般可測(cè)函數(shù)的Lebesgue積分及無(wú)界集上的Lebesgue積分的概念。

2．掌握Lebesgue積分的基本性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用基本性質(zhì)計(jì)算。

3．理解Lebesgue積分的三大定理（Levi定理、Fatou引理及Lebesgue控制收斂定理），會(huì)應(yīng)用Lebesgue積分的三大定理證明和計(jì)算。

4．理解Lebesgue積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系。

5．了解(L)積分的幾何意義，會(huì)陳述并應(yīng)用重積分化累次積分的Fubini 定理。

6．掌握絕對(duì)連續(xù)函數(shù)概念；(L)不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的關(guān)系；Newton-Leibniz公式成立的充要條件。

參考書目：（選擇其一）

1.《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》，曹廣福編，第三版（上冊(cè)），高等教育出版社，2011；

2.《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》，夏道行等編，第二版，高等教育出版社，2009；

3．《實(shí)變函數(shù)論》，江澤堅(jiān)編，第二版，高等教育出版社，2001；

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