中國(guó)地質(zhì)大學(xué)研究生院

碩士研究生入學(xué)考試《高等數(shù)學(xué)》考試大綱 (包括高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)初步兩部分)

一、試卷結(jié)構(gòu)

（一）內(nèi)容比例

高等數(shù)學(xué) 約85%

線(xiàn)性代數(shù)初步 約15%

（二）題型比例

填空題與選擇題 約30%

解答題（包括證明題） 約70%

二、其他

考試時(shí)間為180分鐘，總分為150分。

高 等 數(shù) 學(xué)

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容 函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系的建立 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義以及它們的性質(zhì) 函數(shù)的左、右極限 無(wú)窮小 無(wú)窮大 無(wú)窮小的比較 極限的四則運(yùn)算 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限：

函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值、最小值定理和介值定理)。 考試要求 1. 理解函數(shù)的概念 會(huì)作函數(shù)符號(hào)運(yùn)算并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。 2. 了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。 3. 理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。 4. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形。

5. 理解極限的概念，理解函數(shù)的左、右極限概念及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

6. 掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

7. 理解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。 8. 理解無(wú)窮小、無(wú)窮大以及無(wú)窮小的階的概念，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。

9. 理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型。

10. 了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值、最小值定理和介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)和微分的概念 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn)及其方程 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法 高階導(dǎo)數(shù)的概念 某些簡(jiǎn)單函數(shù)的n介導(dǎo)數(shù) 一階微分形式的不變性 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 羅爾（Rolle）定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 泰勒（Taylor）定理 洛必達(dá)（L′Hospital）法則 函數(shù)的極值及其求法 函數(shù)增減性和函數(shù)圖形凹凸性的判定 函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及其求法 漸近線(xiàn) 描繪函數(shù)的圖形 函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 弧微分 曲率的概念及計(jì)算 曲率半徑 方程近似解的二分法和切線(xiàn)法

考試要求

1. 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并會(huì)求平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量。理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2. 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，以及微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

3. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，并會(huì)求一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

4. 會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5. 理解羅爾定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理，并會(huì)運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

6. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，會(huì)求函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。

7. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)，會(huì)求水平、鉛直和斜漸近線(xiàn)，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。

8. 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。

9. 了解曲率和曲率半徑的概念并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。

10. 了解求方程近似解的二分法和切線(xiàn)法。

三、一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念 不定積分的基本性質(zhì) 基本積分公式 定積分的概念和性質(zhì) 積分中值定理 變上限定積分及其導(dǎo)數(shù) 牛頓—萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 廣義積分的概念及計(jì)算 定積分的近似計(jì)算法 定積分的應(yīng)用

考試要求

1. 理解原函數(shù)概念，理解不定積分和定積分的概念。理解定積分中值定理。

2. 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及換元積分法與分部積分法。

3. 會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。

4. 理解變上限定積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓—萊布尼茲公式。

5. 了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。

6. 了解定積分的近似計(jì)算法。

7. 掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力和函數(shù)平均值等）。

四、向量代數(shù)和空間解析幾何

考試內(nèi)容

向量的概念 向量的線(xiàn)性運(yùn)算 向量的數(shù)量積和向量積的概念及運(yùn)算 向量的混合積 兩向量垂直和平行的條件 兩向量的夾角 向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算 單位向量 方向數(shù)與方向余弦 曲面方程和空間曲線(xiàn)方程的概念 平面方程、直線(xiàn)方程及其求法 平面與平面、平面與直線(xiàn)、直線(xiàn)與直線(xiàn)的平行、垂直的條件和夾角 占到平面和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

球面 母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面 旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程 常用的二次曲面方程及其圖形 空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程和一般方程 空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影曲線(xiàn)方程

考試要求

1. 理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。

2. 掌握向量的運(yùn)算（線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。

3. 掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。

4. 掌握平面方程和直線(xiàn)方程及其求法，會(huì)利用平面、直線(xiàn)的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。

5. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲線(xiàn)的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。

6. 了解空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程和一般方程。

7. 了解空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。

五、多元函數(shù)微積分學(xué)

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性 有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值和最小值定理） 偏導(dǎo)數(shù)及全微分的概念與計(jì)算 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)求導(dǎo)法 高階偏導(dǎo)數(shù) 方向?qū)?shù)與梯度 空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面 空間曲面的切平面與法線(xiàn) 多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值 二重積分的概念、基本性質(zhì)和計(jì)算 二重積分的應(yīng)用

考試要求

1. 了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的表示法與幾何意義。

2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的直觀(guān)意義。

3. 了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，掌握求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的方法，會(huì)用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。

4. 了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，會(huì)求解一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。

5. 了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）的計(jì)算方法，會(huì)用二重積分計(jì)算一些幾何量與物理量（面積、體積、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，引力）。

六、無(wú)窮級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念 收斂級(jí)數(shù)的和的概念 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂性 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 萊布尼茲定理 冪級(jí)數(shù)的概念 收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式

考試要求

1. 了解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的和等概念。

2. 掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件及收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，掌握幾何級(jí)數(shù)及p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法和達(dá)朗貝爾（比值）判別法。

3. 了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，掌握絕對(duì)收斂與條件收斂的判別方法。

4. 會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。

5. 了解冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求一些簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

6. 掌握ex，sinx，cosx，ln（1+x）與（1+x）a等冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并會(huì)利用這些展開(kāi)式將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展成冪級(jí)數(shù)。

七、常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的概念 微分方程的解、通解、初始條件和特解 變量可分離的方程 齊次方程 一階線(xiàn)性微分方程 可降階的高階微分方程 線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程 高于二階的某些常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程 簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程 微分方程的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用

考試要求

1. 了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念。

2. 掌握變量可分離的方程及一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。

3. 會(huì)用降階法解下列方程：y (n) = f（x），y＂= f（x，y′），y＂= f（y，y′）。

4. 理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

5. 掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程。

6. 會(huì)求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的特解。

7. 會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

線(xiàn)性代數(shù)初步

一、行列式

考試內(nèi)容 行列式的定義、性質(zhì)及計(jì)算 考試要求 1. 了解行列式的定義、性質(zhì)。 2. 掌握二階、三階行列式的計(jì)算法，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式。

二、矩陣

考試內(nèi)容 矩陣的概念 單位矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣和對(duì)稱(chēng)矩陣以及它們的性質(zhì) 矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算 矩陣的乘法 矩陣的轉(zhuǎn)置 逆矩陣的概念 矩陣可逆的充分必要條件 伴隨矩陣 矩陣的初等變換 矩陣等價(jià) 矩陣的秩 初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法

考試要求

1. 了解矩陣的概念。

2. 了解單位矩陣、對(duì)角矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣和三角矩陣以及它們的性質(zhì)。

3. 掌握矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律。

4. 理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可逆的充分必要條件，了解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。

5. 理解矩陣的秩的概念。

6. 掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。

三、線(xiàn)性方程組

考試內(nèi)容

向量的概念 向量組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān) 向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組 向量組的秩 向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系 線(xiàn)性方程組的克萊姆（Cramer）法則 齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件 非齊次方程組有解的充分必要條件 線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu) 齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和通解 非齊次線(xiàn)性方程組的通解 行初等變換求解線(xiàn)性方程組的方法

考試要求

1. 了解n維向量的概念。

2. 了解向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義。

3. 了解有關(guān)向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的基本性質(zhì)。

4. 了解向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組與向量的秩的概念。

5. 了解克萊姆法則。

6. 理解齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件。

7. 理解齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系及通解的概念。

8. 理解非齊次線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。

9. 會(huì)用行初等變換求線(xiàn)性方程組的通解。

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