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2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁。全卷滿分150分。考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷3至5頁。

2. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試題相應(yīng)的位置。

3. 全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。

4. 考試結(jié)束，將本試題和答題卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、選擇題共8小題。每小題5分，共40分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n²，n∈A｝,則A∩B=   (       )

       （A）｛0｝          （B）｛-1，,0｝  （C）{0，1}          （D）｛-1，,0，1}

（2） =                                              (      )

（A）-1 -  i          （B）-1 +  i      （C）1 +  i       （D）1 -  i

（3）從1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是               （          ）

（A）                              （B）                                       （C）            （D）

（4）已知雙曲線C： = 1（a>0,b>0）的離心率為，則C的漸近線方程為                    （     ）

（A）y=±x         （B）y=±x        （C）y=±x       （D）y=±x

（5）已知命題p：，則下列命題中為真命題的是：                                    （     ）

（A） p∧q           （B）￢p∧q       （C）p∧￢q       （D）￢p∧￢q

（6）設(shè)首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和為S_n，則                 （     ）

（A）S_n =2a_n-1     （B）S_n =3a_n-2     （C）S_n =4-3a_n  （D）S_n =3-2a_n

（7）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t∈[-1，3]，則輸出的s屬于

（A）[-3,4]                             

（B）[-5,2]

（C）[-4,3]

（D）[-2,5]

（8）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若丨PF丨=4，則△POF的面積為

（A）2                       （B）2                           （C）2                           （D）4

（9）函數(shù)f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的圖像大致為

（10）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，則b=

（A）10                     （B）9                       （C）8                       （D）5

（11）某幾何函數(shù)的三視圖如圖所示，則該幾何的體積為

（A）18+8π                    （B）8+8π

（C）16+16π                   （D）8+16π

（12）已知函數(shù)f（x）=        若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是

（A）（-∞]                （B）（-∞]          (C)[-2,1]             (D)[-2,0]

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩個(gè)部分。第（13）題-第（21）題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第（22）題-第（24）題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

二．填空題：本大題共四小題，每小題5分。

（13）已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c=ta+（1-t）b，若b·c=0，則t=_____.

(14)設(shè)x，y滿足約束條件 ，則z=2x-y的最大值為______.

（15）已知H是求O的直徑AB上一點(diǎn)，AH:HB=1:2,AB⊥平面a，H為垂足，a截球o所得截面的面積為π，則求o的表面積為_______.

(16)設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=______.

三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和S_n滿足S₃=0，S₅=-5.

（Ⅰ）求｛a_n｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和

18（本小題滿分共12分）

為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別成為A藥，B藥）的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間（單位：h）實(shí)驗(yàn)的觀測結(jié)果如下：

服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：

0.6   1.2   2.7   1.5    2.8   1.8   2.2   2.3    3.2   3.5

2.5   2.6   1.2   2.7    1.5   2.9   3.0   3.1    2.3   2.4

服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：

3.2    1.7     1.9     0.8     0.9    2.4     1.2     2.6     1.3     1.4

1.6    0.5     1.8     0.6     2.1    1.1     2.5     1.2     2.7     0.5

19.（本小題滿分12分）

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB,AB=A A₁,∠BA A₁=60⁰.

（Ⅰ）證明AB⊥A₁C;

（Ⅱ）若AB=CB=2, A₁C=,求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積

（20）（本小題滿分共12分）

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為y=4x+4

（Ⅰ）求a，b的值

（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的極大值

(21)(本小題滿分12分)

已知圓M：（x+1）2+y2=1,圓N：（x+1）2+y2=9,動(dòng)圓P與M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C.

（Ⅰ）求C得方程；

（Ⅱ）l是與圓P,圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長是，求|AB|.

請(qǐng)考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的 方框涂黑。

（22）（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講   如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D。

（Ⅰ）證明：DB=DC；

（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為1，BC=  ，延長CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑。

（23）（本小題10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程   已知曲線C₁的參數(shù)方程為x=4+5cost，y=5+5sint，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸簡歷極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C₁的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）求C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

 （24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)= ∣2x-1∣+∣2x+a∣,g(x)=x+3.

（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x) ＜g(x)的解集；

（Ⅱ）設(shè)a＞-1,且當(dāng)x∈[-, )時(shí)，f(x) ≤g(x),求a的取值范圍.