科目代碼：692

科目名稱：數(shù)學分析

一、 考試的總體要求

《數(shù)學分析》是一門重要的數(shù)學基礎課程，由分析基礎、一元函數(shù)微分學和積分學、級數(shù)、多元函數(shù)微分學和積分學等部分組成。要求考生系統(tǒng)地理解數(shù)學分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學分析的基本思想和方法，并具有抽象思維能力、邏輯推理能力、計算論證能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

二、 考試的內(nèi)容

1. 分析基礎

(1) 實數(shù)理論

要求 了解實數(shù)公理;理解上確界和下確界的意義;掌握絕對值不等式及平均值不等式;掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性等特殊性質(zhì)。

(2) 數(shù)列極限

掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念(ε-N語言、ε-δ語言的描述)，理解無窮大(小)量的概念及基本性質(zhì);

掌握極限的性質(zhì)(唯一性、有界性、保號性)及四則運算性質(zhì)、單調(diào)有界收斂定理、Cauchy收斂準則、迫斂性(兩邊夾、夾擠)原理、兩個重要極限;數(shù)列極限的概念與性質(zhì)，單調(diào)有界定理與柯西收斂原理

(3) 函數(shù)極限

函數(shù)極限的概念與性質(zhì)，柯西收斂原理，兩個重要極限，會應用兩個重要極限求解相關問題。

(4) 函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)的概念與性質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性、最值性、介值性(零點定理)、一致連續(xù)性。

(5) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性

2. 一元函數(shù)微分學

(1) 導數(shù)和微分

理解可導與可微、可導與連續(xù)的概念及其相互關系，理解導數(shù)的幾何意義;理解函數(shù)極值點與極值、凸性、拐點等概念;

掌握(高階)導數(shù)、微分的四則運算與復合函數(shù)求導運算法則;掌握左、右導數(shù)的概念以及分段函數(shù)求導方法。

會用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值性，會用二階導數(shù)研究函數(shù)的凸性與拐點;熟練應用介值定理。

(2) 微分中值定理

掌握微分中值定理及其在根的判定、不等式、不定式極限(洛必達法則)等方面的應用;

掌握泰勒公式及其在極限、極值點判定等方面的應用;

掌握極值與最值的求法、凸的等價定義、以及凸性在不等式等方面的應用。

3.實數(shù)的完備性

區(qū)間套、聚點、開覆蓋的概念。

(1)理解聚點概念及其刻畫，理解區(qū)間套、開覆蓋等概念;

(2)理解關于實數(shù)完備性的六大基本定理及其證明思想;

(3)會用實數(shù)完備性定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、介值性(零點定理)、一致連續(xù)性。

4. 一元積分學

(1) 不定積分

掌握原函數(shù)、不定積分的概念及其基本性質(zhì);

熟記不定積分的基本公式，掌握換元積分法和分部積分法，會求初等函數(shù)、有理函數(shù)和三角有理函數(shù)的積分。

(2) 定積分

定積分的概念與性質(zhì)，可積條件，牛頓---萊布尼茨公式，換元法與分部積分法，積分中值定理，微積分基本定理

掌握定積分的概念、可積條件、可積函數(shù)類;

掌握定積分的性質(zhì)，熟練掌握微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理;掌握變上限積分的性質(zhì)。

(3) 定積分的應用

能用定積分計算平面圖形的面積、弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積以及一些物理量的計算。

(4) 反常積分

反常積分的概念與性質(zhì)，收斂判別法。

理解反常積分收斂的概念、Cauchy收斂準則;熟練掌握反常積分收斂性的比較判別法，狄利克雷判別法、阿貝爾判別法。

5. 級數(shù)

(1) 數(shù)項級數(shù)

正項級數(shù)，交錯級數(shù)，一般項級數(shù)，要求熟練掌握級數(shù)收斂性的判別法

(2) 函數(shù)項級數(shù)

要求會求收斂半徑，收斂域，判斷一致收斂性，熟練掌握一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)

(3) 冪級數(shù)

要求掌握冪級數(shù)的概念與性質(zhì)，會求函數(shù)的冪級數(shù)展開式

(4) 傅立葉級數(shù)

掌握周期函數(shù)傅立葉級數(shù)的展開與收斂性的判別。

6. 多元微分學

(1) 偏導數(shù)與全微分

可微性，偏導數(shù)，高階偏導數(shù)，鏈式法則，方向?qū)?shù)與梯度

(2) 多元微分學的應用

中值定理，泰勒公式，極值與條件極值，隱函數(shù)定理及應用

(3) 含參變量的積分

7. 多元積分學

(1) 重積分

二重積分的定義，計算與變量替換，三重積分的定義，計算與變 量替換

(2)曲線積分

第一型曲線積分，第二型曲線積分，格林公式

(3)曲面積分

曲面的面積，第一型曲面積分，第二型曲面積分，高斯公式，斯托克斯公式

三、考試的題型：

判斷題、填空題、計算題、證明題、綜合分析題等。