一、課程的性質(zhì)，目的和任務(wù)

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程。通過本課程的教學(xué)，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，打下較扎實的代數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，提高學(xué)生的抽象思維的能力和邏輯推理能力，并掌握較系統(tǒng)的代數(shù)基礎(chǔ)知識，為學(xué)習(xí)后繼課程服務(wù)。

二、基本要求

這門課程大致分為兩部分:多項式理論和線性代數(shù)。前者以數(shù)域上一元多項式的因式分解理論為中心內(nèi)容;后者主要講授線性方程組的理論，向量空間和線性變換。本課程應(yīng)著重于基本理論的講授和基本技能的培養(yǎng)和訓(xùn)練,不適求內(nèi)容上的完備和全面.

三、考試范圍

(一)多項式理論

1.數(shù)域(A)

2.整除的概念(A)

3.最大公因式.(A)

4.因式分解定理.(A)

5.重因式.(A)

6.多項式函數(shù).(A)

8.復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解.(A)

9.有理系數(shù)多項式.(A)

*10.多元多項式.(B)

*11.對稱多程式.(B)

(二)行列式

1.排列.(A)

2.n階行列式的定義和性質(zhì).(A)

3.行列式的依行和依列展開.(A)

4.行列式的計算.(A)

5.Crammer法則(克萊姆法則).(A)

6.Laplace(拉普拉斯)定理.行列式的乘法規(guī)則.(A)

(三)線性方程組

1.線性方程組的消元法.(A)

2.n維向量空間(A)

3.線性相關(guān)性.(A)

4.矩陣的秩.(A)

5.線性方組有解的判定定理.(A)

6.線性方程組解的結(jié)構(gòu).(A)

7.二元高次方程.(B)

(四)矩陣

1.矩陣的概念與運算.(A)

2.矩陣乘積的行列式與秩.(A)

3.矩陣的逆.(A)

4.矩陣的分塊.(A)

5.初等矩陣.(A)

(五)二次型

1.二次型的矩陣表示.(A)

2.標(biāo)準(zhǔn)形.(A)

3.唯一性.(A)

4.正定二次型.(A)

(六)線性空間

1.線性空間的定義與簡單性質(zhì).(A)

2.維數(shù).基與坐標(biāo).(A)

3.基變換.(A)

4.線性子空間(A)

5.子空間的交與和.(A)

6.子空間的直和.(A)

7.線性空間的同構(gòu).(A)

(七)線性變換

1.定義和例子(B)

2.線性變換的運算.(A)

3.線性變換的矩陣.(A)

4.特征值與特征向量.(A)

5.對角矩陣.(A)

6.線性變換的值域與核.(A)

7.不變子空間.(A)

8.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹.(B)

(八)入一矩陣

1.入一矩陣.(A)

2.入一矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形.(A)

3.不變因子.(A)

4.矩陣相似條件.(A)

5.初等因子.(A)

*6.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo).(C)

(九)歐幾里得空間

1.定義與基本性質(zhì).(A)

2.標(biāo)準(zhǔn)正交基.(A)

3.同構(gòu).(A)

4.正交變換.(A)

5.子空間.(A)

6.對稱矩陣的準(zhǔn)形.(A)

四、主要教材和參考書

1.北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系，高等代數(shù)(第二版)，高教出版社。

2.張禾瑞，郝炳新,高等代數(shù)，高教出版社。

3.楊子胥，高等代數(shù)習(xí)題解(上,下)，山東科技大學(xué)出版社.

五、說明

1、(A):表示對相關(guān)內(nèi)容達到“掌握”層次;(B):表示對相關(guān)內(nèi)容達到“理解”層次;(C):表示對相關(guān)內(nèi)容達到“了解”層次。

2、北大教材的習(xí)題分為兩部分:基本題和補充題。對于學(xué)生要求掌握書上的基本題而補充題大部分難度較大，技巧性較強，不要求學(xué)生能全部獨立完成。但基本題必需會獨立完成解答。“雙線性函數(shù)”和入一矩陣等打星號的內(nèi)容可不做為考試要求。