一．方差的概念與計算公式

例1 兩人的5次測驗成績如下：

X： 50，100，100，60，50 E(X )=72；

Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

平均成績相同，但X 不穩(wěn)定，對平均值的偏離大。

方差描述隨機變量對于數(shù)學期望的偏離程度。

單個偏離是

消除符號影響

方差即偏離平方的均值，記為D(X )：

直接計算公式分離散型和連續(xù)型，具體為：

這里 是一個數(shù)。推導另一種計算公式

得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。

其中，分別為離散型和連續(xù)型計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動

二．方差的性質

1．設C為常數(shù)，則D(C) = 0（常數(shù)無波動）；

2． D(CX )=C2 D(X ) （常數(shù)平方提取）；

證：

特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差無負值）

3．若X 、Y 相互獨立，則

證：記

則

前面兩項恰為 D(X )和D(Y )，第三項展開后為

當X、Y 相互獨立時，

，

故第三項為零。

特別地

獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

方差公式：

平均數(shù)：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n （n表示這組數(shù)據(jù)個數(shù)，x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值）

方差公式：S²=〈(M－x1)²+(M－x2)²+(M－x3)²+…+(M－xn)²〉╱n

三．常用分布的方差

1．兩點分布

2．二項分布

X ~ B ( n, p )

引入隨機變量 Xi （第i次試驗中A 出現(xiàn)的次數(shù)，服從兩點分布）

，

3．泊松分布（推導略）

4．均勻分布

另一計算過程為

5．指數(shù)分布（推導略）

6．正態(tài)分布（推導略）

7.t分布 :其中X~T（n），E（X）=0；D（X）=n/(n-2);

8.F分布：其中X~F（m,n）,E(X)=n/(n-2);

~

正態(tài)分布的后一參數(shù)反映它與均值 的偏離程度，即波動程度（隨機波動），這與圖形的特征是相符的。

例2 求上節(jié)例2的方差。

解 根據(jù)上節(jié)例2給出的分布律，計算得到

工人乙廢品數(shù)少，波動也小，穩(wěn)定性好。

方差的定義：

設一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3······xn中，各組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x（拔）的差的平方分別是（x1-x拔）²，（x2-x拔）²······（xn-x拔）²，那么我們用他們的平均數(shù)s2=1/n【（x1-x拔）²+(x2-x拔)²+·····(xn-x拔)²】來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。