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上海大學2015年大一轉(zhuǎn)專業(yè)考試大綱

科目：微積分

總分：100分 考試時間：120分鐘 考試形式：閉卷

一、考試目的

微積分考試是對學生掌握微積分基本定義、性質(zhì)、理論、計算能力的檢驗，考核學生利用微積分理論分析問題和解決問題的綜合能力。

二、適用學生的范圍

適用于要求進入經(jīng)濟管理類、理學工學類、卓越工程師班、翔英學院專業(yè)的學生。

三、考試內(nèi)容及具體要求

（一）函數(shù)的極限與連續(xù)

1.函數(shù)極限的性質(zhì)與計算.

2.無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系、無窮小的性質(zhì).

3.極限存在的單調(diào)有界準則和夾逼準則、兩個重要極限.

4.函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

5.函數(shù)計算的羅必達法則.

（二）一元函數(shù)微分學

1.導數(shù)和微分計算、函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系、平面曲線的切線和法線.

2.復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法.

3.高階導數(shù)的計算.

4.微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.

5.函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最大值和最小值及其簡單應用.

6.函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線).

（三）一元函數(shù)積分學

1.不定積分的基本性質(zhì)、不定積分的計算.

2.定積分中值定理、變上限定積分確定的函數(shù)及其導數(shù)、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.定積分計算

3.定積分的應用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長等．

4.廣義積分.

（四）常微分方程

1.變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程求解.

2.可降階微分方程.

3.二階常系數(shù)齊次與非齊次微分方程.

4.微分方程的簡單應用.

（五）空間解析幾何

1.向量的運算，向量的垂直、平行判別條件、向量夾角計算.

2.向量的坐標表達式及其運算、單位向量、方向數(shù)與方向余弦.

3.曲面方程、空間曲線方程、平面方程、直線方程.

4.球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.

5.空間曲線的參數(shù)方程和一般方程、空間曲線在坐標面上的投影曲線方程.

（六）多元函數(shù)微分學

1.多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.

2.多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法、二階偏導數(shù).

3.多元函數(shù)極值和條件極值、拉格朗日乘數(shù)法、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應用.

4.空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.

（七）多元函數(shù)積分學　

1.二重積分和三重積分的概念及性質(zhì)、二重積分的計算(直角坐標、極坐標)、三重積分的計算(直角坐標、柱面坐標、球面坐標).

2.立體圖形的體積、曲面面積的計算

（八）無窮級數(shù)

1.常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和、級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件.

2.幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性、正項級數(shù)收斂性的判別法、交錯級數(shù)與萊布尼茨(Leibniz)判別法.

3.任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂。

4.求級數(shù)和函數(shù)與函數(shù)冪級數(shù)展開.

（九）曲線積分與曲面積分

1.兩類曲線積分與兩類曲面積分.

2.曲線積分與路徑無關(guān)、Green公式，全微分方程.

3.兩類曲線積分聯(lián)系、兩類曲面積分聯(lián)系.

4.高斯公式

四、參考書目

《高等數(shù)學》（上、下冊） 上海大學數(shù)學系編， 高等教育出版社 2011。

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